Отрицательные числа

Отрицательные числа

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем в жизни бывает так, что надо делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и т. д. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел — невозможное действие; введение дробей делает это действие возможным.

Но действие вычитания и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5 из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание, и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в VII в., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 — 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 — 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 — 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 — 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления. Все же толкование это долго приводилось в учебниках и в некоторых книгах приводится и поныне.

«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, то мы получим числа

6, 5, 4, 3, 2, 1,

дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше уже не из чего вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны:

  1. «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
  2. от этого, последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т. д.

Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

-1, -2, -3 и т. д.

Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется знаком количества, в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется знаком действия.

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение и дробных отрицательных чисел.Если мы принимаем, что 0 — 5= -5, то должны принять также, что 0 — 12/7= -12/7. Число -12/7 есть дробное отрицательное число.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знак действия). Например, число 2 записывают +2.

Положительные и отрицательные числа (целые и дробные) вместе в школьных руководствах именуют относительными числами. В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл этого названия выясняется при введении понятия иррационального числа. Подобно тому, как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел, и число 3/4 есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа.

Источник: М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. Москва 1986.

Похожие записи

Действительные числа. Историческая справка... Число — это важнейшее математическое понятие. Натуральные числа, используемые для счета в практической деятельности, появились на самых ранних...
Десятичная система счисления... В русском языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...
Курьезное и серьезное в числах... В предметах окружающего мира вы прежде всего замечаете их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого. Обилие частных, индивидуальных сво...
Числовые курьезы Очень легко запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111, 1111 и т д. А именно: 112 = 121; 1112 = 12 321; 11112 = 1 234 321 и т. д. Нетрудно...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *