Делимость чисел

Делимость чисел. Иллюстрация

Из всех действий арифметики самое своенравное — это деление. Оно обладает особыми свойствами, можно сказать, особым «нравом». Возьмем хотя бы обращение с нулем. Для всех других арифметических действий нуль — равноправное число. Его можно и прибавлять и вычитать; оно может быть множителем в действии умножения, но делителем никогда. Разделить на нуль вообще нельзя никакое число, никакое алгебраическое выражение. Это — важная особенность деления, и если к ней отнестись невнимательно, то легко попасть впросак; можно, скажем, «доказать» любое заведомо фальшивое утверждение — «парадокс».

Как вы отнесетесь, например, к такому утверждению.

Всякое количество равно своей, половине.

«Доказательство». Пусть a и b — два равных количества: a = b. Умножим обе части этого равенства на a:

a2 = ab.

Теперь уменьшим на b2 и левую и правую части равенства. Получившиеся разности а2 — b2 и ab — b2 тоже будут равными:

а2 — b2 = ab — b2.

Разложим на множители:

(а + b) (а – b) = b(а – b).

Делим обе части равенства на а – b, после чего получается такое равенство:

а + b = b.

Так как b = а, то в последнем равенстве можем заменить b через a, тогда a + a = a, или 2a = a. Разделив на 2, получим a = a/2, а это значит, что целое равно своей половине (?).

Внешне, или, как говорят, «формально» все правильно, а по существу где-то в приведенных выкладках есть дефект. Вы, конечно, были внимательны и заметили, в какой части преобразований имеется изъян.

«Нрав» деления проявляется не только по отношению к нулю. Математическая теория уделяет много внимания свойствам целых чисел и законам, управляющим действиями над ними. Так вот, если ограничиться множеством одних только целых (положительных и отрицательных) чисел, то опять-таки «капризничает» только одно действие: деление. Оно, как вы знаете, не всегда выполнимо в области целых чисел. Принято считать так, что целое число a делится на целое число b, если среди целых же чисел найдется такое число c, произведение которого на b дает точно число a; если же такого числа нет, то a не делится на b.

Все эти особенности деления и способствовали возникновению таких понятий, как простые числа, наибольший общий делитель (Н. О. Д.), наименьшее общее кратное (Н. О. К.), признаки делимости чисел, а постепенное развитие теории делимости чисел привело к глубокому расширению всей теории чисел.

Источник: Математическая смекалка. Б.А. Кордемский. Москва, 1956.

Похожие записи

Число Число — одно из основных понятий математики, возникшее впервые в связи с потребностями счета предметов и совершенствовавшееся затем по мере развития ...
Число «е» Число «e» (2,718...) — число иррациональное: оно не может быть точно выражено конечным числом цифр, но вычисляется только приближен...
Наименования больших чисел Для удобства чтения и запоминания больших чисел цифры их разбивают на так называемые классы: справа отделяют три цифры (первый класс), затем еще три...
Происхождение отрицательных чисел и правил действи... Одним из трудных для усвоения учащимися мест в алгебре является учение о действиях с отрицательными числами. И не потому, что устанавливаемые правил...

Делимость чисел: 3 комментария

  1. Виктория

    скажите, пожалуйста, можно ли говорить про отрицательные числа, что они кратны каким-то другим числам (положительным или отрицательным, неважно.
    Можно ли, например, сказать, что число -4 четное. Или для отрицательных чисел не существует понятия кратность, четность?

  2. admin Автор записи

    Четным числом называется целое число, которое делится на 2 без остатка. http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_18_15.php

    Кратное — число, которое делится на это целое число без остатка, например, 12 кратное 3.

    Целые числа — расширение множества натуральных чисел N, получаемое добавлением к N нуля и отрицательных чисел вида -n.

  3. Виктория

    спасибо за подтверждение моих мыслей
    Я задала этот вопрос из-за того, что на уроке алгебры было задание: найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных восьми.
    Мы спросили у учительницы, разве отрицательные числа не учитываются, она сказала, что нельзя про них сказать, что они четные/нечетные. И привела пример, что -4 это ни четное, ни нечетное. Это меня так задело, я всегда думала обратное…
    А в задании просто забыли дописать натуральных.
    А то если так считать, то можно просто написать ноль в ответе.
    Я люблю математику.
    Спасибо еще раз 🙂

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *