Отрицательные числа

Отрицательные числа

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами нельзя обойтись даже в самых простых случаях. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между тем в жизни бывает так, что надо делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и т. д. Без введения дробных чисел деление натуральных чисел — невозможное действие; введение дробей делает это действие возможным.

Но действие вычитания и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть большее число из меньшего, например 5 из 3. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание, и потому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в VII в., а китайскими еще раньше. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления. Все же толкование это долго приводилось в учебниках и в некоторых книгах приводится и поныне.

«Невозможность» вычитания большего числа из меньшего обусловливается тем, что натуральный ряд чисел бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, то мы получим числа

6, 5, 4, 3, 2, 1,

дальнейшее вычитание дает уже «отсутствие числа», а дальше уже не из чего вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание всегда возможным, мы должны:

  1. «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
  2. от этого, последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т. д.

Так мы получаем новые числа, обозначаемые в настоящее время так:

-1, -2, -3 и т. д.

Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется знаком количества, в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется знаком действия.

Введение целых отрицательных чисел влечет за собой введение и дробных отрицательных чисел.Если мы принимаем, что 0 - 5= -5, то должны принять также, что 0 - 12/7= -12/7. Число -12/7 есть дробное отрицательное число.

В противоположность отрицательным числам (целым и дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знак действия). Например, число 2 записывают +2.

Положительные и отрицательные числа (целые и дробные) вместе в школьных руководствах именуют относительными числами. В принятой научной терминологии эти числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл этого названия выясняется при введении понятия иррационального числа. Подобно тому, как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел, и число 3/4 есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа.

Источник: М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. Москва 1986.