Архив рубрики: Полезные советы

Кто первый скажет «сто»?

Кто первый скажет «сто»?

Двое поочередно говорят произвольные числа, но не превышающие десяти. Эти числа складываются одно за другим, и выигрывает тот, кто первый достигнет ста. Сделать так, чтобы всегда первым сказать «сто».

Наперед заданное число есть 100, а числа, которые говорят играющие, не превышают десяти, т. е. можно называть 10 и всякое меньшее число.

Итак, если первый скажет, например, «7», а второй «10», получится «17»; затем первый говорит, например, «5», получится «22»; второй говорит «8», получится «30» и т. д. Победителем будет тот, кто первый получит «100».

Читать далее

Простейшая геометрия на местности

Для практических целей часто возникает необходимость производить геометрические построения на местности. Такие построения нужны и при строительстве зданий, и при прокладке дорог, и при различных измерениях объектов на местности.

Простейшая геометрия на местности

Можно подумать, что работа на ровной поверхности земли ничем, по существу, не отличается от работы циркулем и линейкой на обыкновенном листе бумаги. Это не совсем так.

Ведь на бумаге циркулем мы можем проводить любые окружности или их дуги, а линейкой — любые прямые. На местности же, где расстояния между точками довольно велики, для, подобных действий понадобилась бы длинная веревка или огромная линейка, которые не всегда имеются под руками. Да и вообще чертить прямо на земле какие бы то ни было линии — дуги или прямые — представляется весьма затруднительным. Таким образом, построения на местности имеют свою специфику.

Читать далее

Вокруг наибольшего общего делителя

Евклид

Одна из простейших задач, для решения которой понадобится найти наибольший общий делитель пары натуральных чисел a и b, — это задача сокращения дроби a/b.

Напомним, что если числа a и b делятся на одно и то же натуральное число a, то число а называется общим делителем пары чисел a и b. Любая пара натуральных чисел имеет хотя бы один общий делитель (а именно, d = 1), причем любой общий делитель не превосходит каждого из этих чисел. Поэтому среди всех делителей чисел a и b можно выбрать наибольший общий делитель, который обозначается через (a, b), например (20, 100) = 20, (65, 39) = 13. Если (a, b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми. При этом взаимно простые числа a и b совсем не обязательно сами по себе должны быть простыми числами; так, (33, 35) = 1, но 33 = 3 × 11 и 35 = 5 × 7.

Читать далее

Не производя деления

Вопрос о том, делится ли данное число n нацело на другое число m, часто возникает в самых разных практических задачах. Один из способов выяснить это состоит в непосредственном делении числа n на число m, однако такой способ далеко не самый легкий. Желание иметь какие-либо критерии, позволяющие устанавливать факт делимости, не прибегая к операции деления, приводит нас к задаче о нахождении наиболее простах признаков делимости.

Читать далее

Зачем нужны уравнения?

Зачем нужны уравнения?

Вычислительные задачи бывают прямые и косвенные.

Вот пример прямой задачи: какова масса куска сплава, на изготовление которого пошло 0,6 дм3 меди (плотность 8,9 кг/дм3) и 0,4 дм3 цинка (плотность 7,0 кг/дм3)?

При ее решении находим массу взятой меди (8,9 · 0,6 = 5,34 кг), затем массу цинка (7,0 · 0,4 = 2,8 кг) и, наконец, массу сплава (5,34 + 2,8 = 8,14 кг). Выполняемые действия и их последовательность диктуются самим условием задачи.

Читать далее

Три пишем, два в уме

Многим из вас когда-нибудь приходилось и, скорее всего, еще не раз придется заниматься различными вычислениями.

Три пишем, два в уме

Вы, наверняка, заметили, что считать «вручную» на бумаге или тем более в уме — дело кропотливое и к тому же весьма ненадежное.

Ведь любая ошибка (а при большом объеме вычислений с возможностью сделать ошибку нельзя не считаться) ведет к неверному ответу, проверка которого означает пересмотр всех сделанных выкладок. Если же в результате этого пересмотра ответ не совпадает с первоначальным, то возникает вопрос, какому из двух ответов больше доверять. Стало быть, нужно набраться терпения и пересчитать все заново, а возможно, и не один раз.

Между тем бороться с указанными неприятностями можно. Один из способов вам хорошо известен — это использование калькуляторов. К сожалению, калькулятор не всегда имеется под рукой. Поэтому полезно уметь немножко разнообразить скучное занятие, связанное с вычислениями, используя различные приемы как для упрощения выкладок, так и для их проверки.

В этой статье вы найдете подборку задач, в которых как раз и разрабатываются такие приемы.

Читать далее

Загадка как логическая задача

Главная особенность загадки состоит в том, что эта миниатюра представляет собою логическую задачу. Каждая загадка содержит вопрос, поставленный в явной или скрытой форме.

Отгадать загадку — значит найти решение задачи, ответить на вопрос, т. е. совершить довольно сложную мыслительную операцию.

Предмет, о котором идет речь в загадке, скрыт, зашифрован разными способами. От способа шифра зависит тип логической задачи, ее сложность, а следовательно, и характер умственной операции, которую предстоит совершить отгадывающему.

Загадка как логическая задача

Способы построения логических задач различны. Чаще всего загадка строится на перечислении признаков предмета, явления. В числе их могут быть величина, форма, цвет, вкус, звучание, движение, материал, назначение и др. По указанным признакам и надо найти отгадку.

Читать далее

Когда без алгебры проще

Наряду со случаями, когда алгебра оказывает арифметике существенные услуги, бывают и такие, когда вмешательство алгебры вносит лишь ненужное усложнение. Истинное знание математики состоит в умении так распоряжаться математическими средствами, чтобы избирать всегда самый прямой и надежный путь, не считаясь с тем, относится ли метод решения задачи к арифметике, алгебре, геометрии и т. п. Полезно будет поэтому рассмотреть случай, когда привлечение алгебры способно лишь запутать решающего. Поучительным примером может служить следующая задача.

Читать далее

Роль памяти в математике

Роль памяти в математике

Относительно математики в нашем обществе еще до сих пор существуют самые странные предрассудки. Одни говорят, что заниматься математикой могут только исключительные, одаренные совсем особыми способностями умы, другие утверждают, что для этого необходима особая, так сказать, «математическая память» дли запоминания формул и т. д.

Нельзя, конечно, спорить против того, что существуют умы с резко выраженными склонностями к той или иной стороне умственной деятельности. Но точно так же никоим образом нельзя утверждать, что существуют хотя мало-мальски нормальные умы, которые совсем неспособны к восприятию и полному усвоению необходимых математических знаний, хотя бы, скажем, в размерах курса средней школы.

Будем справедливы и признаем, наконец, что выражение «неспособен к математике» есть прежде всего горький продукт нашего неумения, а, пожалуй, иногда и легкомысленного нежелания поставить в семье и школе преподавание математики на должную высоту.

Читать далее

Заключение по аналогии

Всегда желательно предугадать результат или, по крайней мере, некоторые его черты с той или иной степенью правдоподобия. Такие правдоподобные догадки часто основываются на аналогии.

Так, пусть нам известно, что центр тяжести однородного треугольника совпадает с центром тяжести трех его вершин (т. е. трех материальных точек одинаковой массы, помещенных в трех вершинах треугольника). Зная это, мы можем предположить, что центр тяжести однородного тетраэдра совпадает с центром тяжести его четырех вершин.

Такая догадка есть «заключение по аналогии». Зная, что треугольник и тетраэдр похожи друг на друга во многих отношениях, мы высказываем догадку, что они похожи друг на друга еще в одном отношении. Было бы нелепо из правдоподобия таких догадок выводить их истинность, но было бы так же (и даже еще более) нелепо пренебрегать этими правдоподобными предположениями.

Читать далее