Аксиомы — правила игры

Великий математик первой половины XX в. Гильберт говорил: «Математика — всего лишь игра, в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом обозначениями, не имеющими самостоятельного значения».

Такое «определение» математики представляется вам, по-видимому, остроумным, несколько игривым, но не серьезным. Между тем в нем содержится глубокая и правдивая оценка математики, если ее понимать аксиоматически, т. е. как науку, которая основывается на системе аксиом.

Аксиомы, как известно, являются истинами, не требующими доказательства. Они не нуждаются в нем благодаря своей ясности, очевидности, логичности, которые нельзя обосновать более простыми доводами.

Так было, во всяком случае, когда-то. В те давние времена, когда жил-был король, который имел трех сыновей… Сегодня это не так (по-видимому, из-за отсутствия королей…).

Аксиомы в современной математике далеко не очевидны. Некоторые утверждают, что аксиомы не всегда правильны.

Давайте воспримем поэтому аксиомы скорее как предположения. Тот, кто ими пользуется, вовсе не обязан кому-то давать отчет в том, почему он провозгласил аксиомой именно то, а не другое предложение. Это его дело. Но если в этой системе аксиом что-то «не ладится», математики приговорят такую систему к смерти.

Дело в том, что аксиомы отражают основные свойства определенных математических теорий или систем. И если с аксиомами что-то «не ладится», рушится и вся система, в которую входят эти аксиомы. Тут не до шуток. Каждая система аксиом, удовлетворяя двум главным требованиям, должна быть полной и непротиворечивой.

Система является полной в том случае, если в ней содержится всё необходимое для построений определенной теории, к которой она относится. А для того, чтобы система аксиом была непротиворечивой, она не должна позволять делать выводы о том, что нечто одновременно имеется в наличии и отсутствует или что некоторое утверждение верно и в то же время ложно.

Значение аксиомы в науке первым заметил, вероятно, самый великий ум античных времен — Аристотель. Он считал, что во всех областях наук имеются взгляды и высказывания, которые настолько очевидны, что не нуждаются в доказательствах. Они и составляют основу и суть определенной науки. В геометрии Евклид был первым создателем подобной системы аксиом, которая помогла ему сделать все известные в то время геометрические выводы. Поэтому можно смело утверждать, что с тех пор математика, а точнее, геометрия стала дедуктивной наукой, которая на основе определенного числа исходных предположений выводит все последующие. Чтобы познакомить вас с аксиомами Евклида, приведем только первые пять аксиом геометрии на плоскости. Они заключаются в следующем:

  1. Через любые две точки можно провести единственную прямую (любые две точки определяют прямую).
  2. Каждую прямую можно бесконечно продолжать.
  3. В любом месте на плоскости можно описать окружность произвольного радиуса.
  4. Все прямые углы конгруэнтны.
  5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются два смежных угла, в сумме составляющие угол, меньший, чем два прямых угла, то при этом исходные прямые обязательно пересекутся по ту сторону от третьей прямой, где расположены эти два смежных угла.

И хотя в аксиомах Евклида были неточности, практически вплоть до XIX в. эта система аксиом была единственной в геометрии. Но продолжим речь об этих аксиомах.

Если присмотреться к ним повнимательнее, то увидим значительную разницу между первыми четырьмя и пятой аксиомой. Первые четыре — короткие, ясные и наглядные, их можно принять без оговорок. Но пятая «подозрительна». Во-первых, она длинна, ее трудно запомнить и повторить, а кроме того, она не очень ясна. Чтобы ее понять, надо взять в руки карандаш, бумагу, линейку и взяться за черчение. Начнем, пожалуй.

Если хорошо изучить чертеж, ситуация прояснится, но сомнение не исчезнет. И не только у нас… И математикам эта аксиома всегда казалась несколько проблематичной. Они считали, что Евклид их несколько «подвел», но доказательств, чтобы снять сомнения, у них не было. Поэтому они поручили исследовать аксиому лучшим математикам. Что они только с ней не делали. Они упрощали ее, сокращали, выводили из других аксиом, иначе формулировали ее, словом, делали с ней все, что только можно. Бились над пятой аксиомой полных девятнадцать веков (до чего упорные люди!), но так и не смогли ее ни опровергнуть, ни доказать. Аксиома по сей день осталась такой, какой была 2 тысячи лет назад. Вот это постоянство!..

Но самое интересное заключается в том, что вся эта работа была небесполезна. (Предполагаю, как вы злорадно желали, чтобы математики хотя бы раз «оступились».) И вот что произошло.

Возмущенные более чем тысячелетней возней вокруг этой аксиомы, математики решили применить крайние меры, к которым вообще они прибегают неохотно. Впрочем, терять им было нечего. Они и решили с аксиомой больше не считаться и притворились, будто ее нет вовсе. Вот тут-то они и пришли в изумление. Даже сами не поверили своим глазам, когда открыли новую геометрию, в которой тоже все было непротиворечиво. Мало того, они пришли к выводу, что таких геометрий много, причем довольно удивительных.

В одной из них (на плоскости): «из данной точки можно провести две прямые, параллельные заданной прямой».

В другой: «из данной точки нельзя провести ни одной прямой, параллельной заданной».

Сумма углов треугольника может быть и меньше, и больше 180° (а я помню очень хорошо, что мой лучший школьный товарищ Петя схватил единицу по математике, когда заявил учителю, что сумма углов в треугольнике равна 150°).

Такую геометрию, в которой не действует пятая аксиома Евклида, назло ему назвали неевклидовой геометрией.

Источник — «Ох, эта математика!». Златко Шпорер.

Похожие записи

Теоремы, аксиомы, определения... Рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство, называется доказательством. Доказываемое свойство называется теоремой. При доказательстве геометриче...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *